Aporte Teórico

Ecuaciones Diferenciales

A raíz del famoso calentamiento global que tanto nos preocupa y a los jóvenes los tiene atentos porque en ello va su futuro hemos pensado en hacer una simulación.

Hagamos la experiencia de disponer de una habitación con temperatura media de 13º y coloquemos en ella un potente caloventor y un eficaz aire acondicionado, ambos funcionando simultáneamente.

Consideremos C a la temperatura reinante en el momento de iniciar la experiencia (13º).

Influencia del calor en función del tiempo [math] (t)=a\times C_{(t)}\times [/math] [math] \Delta [/math]t.

Influencia de, frio en función del tiempo [math] (t)=b\times C_{(t)}\times [/math] [math] \Delta [/math]t.

Por supuesto a, b es calor y frio constante emanados de ambos aparatos.

Conociendo la cantidad de calor generada y la cantidad de calor disminuida (frio) en un determinado periodo de tiempo podemos ver cómo ha variado la temperatura en ese intervalo:

[math] \Delta [/math]C = [math] C_{(t+t)}-C_{(t)}=a\times C_{(t)}\times [/math] [math] \Delta [/math]t [math] -b\times C_{(t)}\times [/math] [math] \Delta [/math]t

Por lo tanto [math] \Delta [/math] [math] C=(a-b)\times C_{(t)}\times [/math] [math] \Delta [/math]t.

O sea [math] \Delta [/math]C / [math] \Delta [/math]t = [math] (a-b)\times C_{(t)} [/math]

Si hacemos que ?t tienda a cero nos resultará [math] \frac{\text{dC}}{\text{dt}}=(a+b)\times C_{(t)} [/math]

Y esto es una ecuación diferencial que, claramente, expresa que la variación instantánea de la temperatura es directamente proporcional a la temperatura en cada instante.

Ahora nos preguntaremos:

  • ¿Qué pasa si el calor emitido por el caloventor es superior al aire frio emitido por el aire acondicionado?
  • ¿Qué pasa si el calor emitido es menor?
  • ¿Qué pasa si calor emitido es igual a frio emitido?

Hagamos un análisis:

Si el calor es mayor que el frío emitido [math] (a-b)\succ 0\Rightarrow \frac{\text{dC}}{\text{dt}}\succ 0 [/math] y derivada positiva función creciente, por lo tanto aumenta la temperatura a través del tiempo.

Si el calor es menor que el frío emitido entonces la relación es todo lo contrario, por lo tanto disminuye la temperatura a través del tiempo.

Pero si [math] (a-b)=0\Rightarrow \frac{\text{dC}}{\text{dt}}=0 [/math] significa que la función es constante, por lo tanto se mantiene la temperatura original a través del tiempo.

Resolver esa ecuación diferencial significa hallar una función [math] C_{(t)} [/math] que cumpla con la condición de:

[math] \frac{\text{dC}}{\text{dt}}=(a-b)\times C_{(t)} [/math]

La que finalmente puede quedar expresada de la siguiente manera [math] \frac{\text{dC}}{C}=(a-b)\text{dt} [/math] tal que integrada entre [math] t_0 [/math] , que es el instante inicial de la experiencia, y un t cualquiera, quedará:

[math] \int _{C_0}^C\frac{\text{dC}}{C}=\int_{t_0}^t (a-b) \, dt [/math]

Cuya expresión final es: [math] C=C_0\times E^{(a-b)\times \left(t-t_0\right)} [/math]

Por lo tanto conociendo la temperatura inicial de nuestra investigación y las temperaturas irradiadas por el caloventor y el aire acondicionado podemos armar la función que describa el comportamiento de la temperatura según estos dos influyentes, el frío(b) y el calor(a).

Por lo tanto si somos capaces de representar las funciones exponenciales cuando a>b, cuando a

Estas pequeñas cosas, que cotidianamente nos pasan, justifican científicamente la necesidad de conocer algunas teorías matemática como, en este caso, las ecuaciones diferenciales.

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