Aporte Teórico

A Importância do Lúdico e da Resolução de Problemas

Compreender o mundo implica aprender a relacionar e analisar criticamente a realidade não como um conjunto de partes, mas na sua totalidade e a Matemática têm um papel importante na construção de um conhecimento útil para o estudante enfrentar, interpretar e atuar sobre as diversas situações da realidade sócio-natural. Este artigo analisa a importância do lúdico e da resolução de problemas para a formação de um aluno autônomo e comprometido com a sociedade em que vive. Apresenta, também, uma situação lúdica e um problema que pode servir de exemplo para os professores de Matemática utilizarem em sala de aula no Ensino Básico.


Introdução

Há necessidade da escola formar seu aluno de maneira que ele possa interpretar e enfrentar o mundo atual. Mundo este, que através dos meios de comunicação e tecnologias, acaba deixando a escola atrasada em relação à realidade diária.

Para viver na sociedade moderna a escola deve se preocupar com o desenvolvimento de competências, além do desenvolvimento de conteúdos. A educação matemática deve possibilitar ao educando a aquisição e utilização de instrumentos de comunicação, de análise, de crítica e avaliação que são essenciais para o exercício da cidadania plena, desenvolvendo o processo de ensino e aprendizagem de acordo com as exigências das transformações mundiais, sem ficar isolada da realidade, mas sim, interagindo com ela dentro do contexto social, formando indivíduos preparados, não só para o trabalho, mas também para a vida.

A Matemática tem um papel importante na construção da cidadania. Pois é, através desta ciência, que muitas situações cotidianas são entendidas e resolvidas de forma crítica. E, é papel da escola, "[...] enriquecer as estruturas de pensamento, de modo que, dispondo de um rol maior de possibilidades, o aluno possa optar, no futuro, por soluções mais eficazes" (CARVALHO, 1994, p.52).

Portanto a Matemática escolar não pode se limitar a ensinar os conceitos que estão nos programas dessa disciplina, mas deve possibilitar o desenvolvimento do pensamento que se coloca em funcionamento, como abstração, demonstração, raciocínio através de hipóteses, resolução e elaboração de problemas. Importante salientar o que afirma D'Amore (2005), que a aprendizagem Matemática não é apenas construção de conceitos, mas envolve três tipologias de aprendizagens distintas, com intersecções, que são: aprendizagem conceitual, aprendizagem de estratégias (resolver, demonstrar,...) e aprendizagem algorítmica (calcular, operar,...).

Logo, para um ensino comprometido com as necessidades atuais é fundamental a utilização de metodologias que possibilitem o desenvolvimento de competências para formar um aluno cidadão que utiliza cada vez mais conceitos matemáticos na sua rotina. Nesse contexto o como planejar o processo de ensino e aprendizagem da Matemática é de fundamental importância, onde o lúdico e a resolução de problemas são metodologias importantes para o desenvolvimento pessoal dos alunos, capacitando-os autônoma, social, crítica e responsavelmente.

1. O lúdico no ensino da Matemática

O ensino utilizando meios lúdicos cria um ambiente gratificante e atraente servindo como estímulo para o desenvolvimento integral dos adolescentes, objetivando que os alunos gostem de aprender esta disciplina, permitindo a mudança da rotina da sala de aula e despertando o interesse dos alunos envolvidos.

O processo de ensino e aprendizagem deve acontecer de forma interessante e prazerosa e um recurso que possibilita isso são os jogos. Guzmán (1986) expressa, muito bem, o sentido que o jogo tem na educação matemática: “O interesse dos jogos na educação não é apenas divertir, mas sim, extrair desta atividade matérias suficientes para gerar um conhecimento, interessar e fazer com que os estudantes pensem com certa motivação”.

Para Ferrero (1991) os jogos servem para estimular diferentes qualidades pessoais e sociais, tais como: afirmação, confiança, cooperação, comunicação, trato com as pessoas, aceitação de normas, trabalho em equipe e o reconhecimento dos êxitos dos companheiros.

Moura (1991) afirma que: "o jogo aproxima-se da matemática via desenvolvimento de habilidades de resoluções de problemas". Devem-se escolher jogos que estimulem a resolução de problemas, principalmente quando o conteúdo a ser estudado for abstrato, difícil e desvinculado da prática diária. Os jogos não devem ser muito fáceis nem muito difíceis e devem ser testados antes de sua aplicação, a fim de enriquecer as experiências através de propostas de novas atividades, propiciando mais de uma situação de aprendizagem.

Uma atividade lúdica que motiva os alunos é a adivinhação de números, como o exemplo apresentado por Ferrero (1991), que se apresenta a seguir.

1.1 Adivinhando a soma dos pontos obtidos com o lançamento de dois dados

Para adivinhar, sem ver, a soma dos pontos que se obtém com dois dados lançados ao azar, procede-se da seguinte forma:

  • Se solicita a um aluno que lance dois dados e, a continuação, que realize as seguintes operações: que multiplique por dois o número de pontos obtidos por um dos dois dados; que some cinco unidades ao produto obtido; que multiplique por cinco o resultado anterior; que some o resultado ao número de pontos obtidos no segundo dado.

  • Por último, quem propõe o jogo, nesse caso o professor, diminui vinte e cinco ao resultado final das operações realizadas e obterá um número de dois algarismos. Cada um dos dois algarismos indica o número de pontos que se obteve ao lançar os dois dados; logo a soma é igual a adição dos algarismos do número obtido.

Analisando um exemplo: considerando que ao lançar dois dados, ao azar, se obtenha no primeiro dado o número 4 e no segundo dado o número 2. Realizando os cálculos, obtém-se:

4 X 2   = 8
 
8 + 5   = 13 67 – 25 = 42
13 X 5 = 65 Logo: 4 + 2 = 6
65 + 2 = 67  A soma, a ser indicada é seis.

A explicação matemática para essa atividade é muito simples. Considerando x e y os números obtidos nos lançamentos dos dados e realizando as operações, fica-se com o número xy:

5(2x + 5) = 10x + 25  ⇒  10x + 25 + y  ⇒  10x +25 + y – 25 = 10x + y = xy

Logo a soma que deve ser informada ao aluno é x + y, ou simplesmente, pode-se informar os números tirados nos lançamentos dos dados, que são o x e o y.

2. A metodologia resolução de problemas na educação Matemática

A resolução de problemas deve fazer com que o aluno seja desafiado a refletir, a discutir com o grupo, a elaborar hipóteses e procedimentos, extrapolar as aplicações e enfrentar situações novas, não se restringindo àqueles problemas que conduzem a uma única solução ou que sejam repetição de exercícios ou conceitos recém estudados. Deve, isto sim, possibilitar o raciocínio lógico, levando o estudante a aplicar os seus conhecimentos prévios em uma nova situação, levantando hipóteses, realizando um plano de ação, executando o plano e avaliando a resposta encontrada.

Um problema, para ter validade didática, deve despertar o interesse do aluno para desencadear a busca e a pesquisa de como encontrar a solução. Os princípios básicos para apresentar uma situação-problema que desafie os alunos são:

  • A situação-problema deve ser o ponto de partida da atividade matemática, os conteúdos podem ser abordados com a apresentação de problemas;

  • O problema não deve requerer um ato de resolução mecânica, com a simples aplicação de fórmulas ou processos operatórios aprendidos durante a aula, deve exigir algum tipo de estratégia para resolvê-lo e um certo grau de criatividade. Um problema só existe quando o aluno for levado a interpretar a questão, a estruturar e contextualizar a situação apresentada, a solução não deve estar disponível de início, mas deve ser construída;

  • O saber matemático deve ser considerado como um conjunto de idéias, e a situação-problema têm que privilegiar esse aspecto. Assim, o aluno percebe que para resolver a questão é necessário recorrer a conhecimentos já aprendidos e que precisam ser interligados;

  • A resolução de problemas não pode ser apresentada como uma finalidade em si, ela é uma metodologia que serve de orientação para a aprendizagem. Com base nela, é possível desenvolver conceitos, procedimentos e atitudes matemáticas;

  • O aluno, ao estar diante de um problema deve elaborar um ou vários procedimentos de resolução, comparação do resultado com o dos colegas e validação dos seus procedimentos.

A seguir apresenta-se um exemplo de um problema que leva o aluno a realizar conjecturas e a refletir sobre as possíveis respostas, se realiza apenas com lápis e papel, é o reconhecimento e identificação de quadrados.

Para a prática desta atividade é necessário quadrados quadriculados, onde o estudante deve colorir todos os quadrados visíveis no desenho. É interessante iniciar com um quadrado dividido em um número pequeno de partes, por exemplo, um quadrado com o lado dividido em três partes.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Figura 1: identificação de quadrados

 

Identificam-se em um quadrado, cujo lado está dividido em três partes, quatorze quadrados. A localização destes quadrados oferece um nível de complexidade bem menor do que um desenho cujo lado está dividido em, por exemplo, oito partes.

Logo, um primeiro nível de dificuldades é um quadrado cujo lado está dividido em três partes, em um segundo nível de dificuldades é possível colocar um quadrado cujo lado está dividido em quatro partes. Deve-se aumentar o número de divisões do lado do quadrado até chegar em um quadrado dividido em oito partes.

É conveniente que os alunos tenham vários desenhos a sua disposição para colorir todos os quadrados possíveis, pois, a sobreposição de coloridos pode confundir e o objetivo da atividade é que o aluno consiga resolvê-la.

Após algumas práticas pode-se colocar o seguinte problema: “Quantos quadrados há em um quadrado cujo lado foi dividido em n partes?”

Este problema pode ser abordado de forma experimental, desenhando quadrados cujos lados estão divididos em l, 2, 3, 4, ..., n partes.

 

 

   
   

 

     
     
     

 

       
       
       
       

 

         
         
         
         
         

Figura 2: Quadrado unitário cujo lado está dividido em partes

 

Com base nos quadrados é possível elaborar a seguinte tabela:

N.º de unidades do lado

n=1

n=2

n=3

n=4

n=5

n=6

n=7

n=8

n

N.º de quadrados

1

5

14

30

55

 

 

 

 

Tabela 1: Número de quadrados encontrados em um quadrado dividido em partes

 

Analisando a série de números correspondentes ao número de quadrados que há em cada figura obtida por via experimental é possível formular hipóteses sobre a regra que permite obter a seqüência numérica para qualquer caso.

É importante mostrar ao estudante a necessidade de buscar um modelo matemático para conhecer o número de quadrados que se obtém quando a divisão for de n partes, visto que, se torna impossível verificar de forma experimental.

Para um quadrado dividido em seis partes obtemos 9l quadrados, para um quadrado dividido em 7 partes obtemos 140 quadrados. Logo é possível concluir que o número de quadrados que há em um quadrado cujo lado foi dividido em oito partes é igual à soma dos quadrados dos oito primeiros números naturais, para n ≥ 1.

Logo é possível calcular o total de quadrados possíveis quando o lado está dividido em oito partes, sem ser pela via experimental.

Chamando de N o número de quadrados, temos:

N = 12 + 22 + 32 + 42 + 52 + 62 + 72 + 82

N = 1 + 4 + 9 + 14 + 25 + 36 + 49 + 64

N = 204

No caso do quadrado ser dividido em n partes, teremos:

N = 12 + 22 + 32 + 42 + 52 + 62 + ... + ( n - 2)2 + ( n - 1)2 + n2

Esta soma por ser obtida através da fórmula que representa a soma dos quadrados dos n primeiros números Naturais, para n ≥ l.

N

=

n.(n+1).(2n+1)

6

Esta proposição pode ser demonstrada por Indução Finita.

Demonstração:

1º) Provando para um quadrado cujo lado não tem divisões, ou seja, para n = 1

1 quadrado

  =  

  n.(n+1).(2n+1)  

6

1

  =  

1

2º) Supondo verdadeira a proposição para um quadrado cujo lado está dividido em n partes:

N = 12 + 22 + 32 + 42 + 52 + 62 + ... + ( n - 2)2 + ( n - 1)2 + n2

  =  

  n.(n+1).(2n+1)  

6

3º) Provando para um quadrado dividido em n + 1 partes

N = 12 + 22 + 32 + 42 + 52 + 62 + ... + (n - 2)2 + (n - 1)2 + n2 + (n + 1)2 =

n.(n+1).(2n+1)

6

  +  

( n + 1)2 =

(n2 + n)(2n+1)+6(n2+2n+1)

6

  =  

2n3 + 2n2 + n2 + n + 6n2 + 12n + 6

6

  =  

2n3 + 9n2 + 13n + 6

6

  =  

Fatorando por Briot Ruffini:

-1 2 9 13 6
-2 -7 -6
2 7 6

2n2+7n+6=0

{

-2

                              n

-3/2

2(n+1)(n+2)(n+3/2)

6

  =  

2(n+1)(n+2)(2n+3)/2

6

  =  

(n+1)(n+2)(2n+3)

6

  =  

Logo a proposição generalizada é verdadeira para qualquer n ∈ N e n ≥ 1.

Conclusão

Ensinar Matemática pode e deve ser compatível com formar pessoas. Os professores de Matemática devem ser capazes de selecionar e organizar atividades adequadas para contribuir para o desenvolvimento dos alunos e para o desenvolvimento de uma Matemática acessível para todos.

O trabalho matemático desenvolvido nas escolas deve ser real e útil para a vida e as metodologias aplicadas em sala de aula são fundamentais para um ensino significativo.

Além do mais o uso de várias metodologias é considerado adequado. As principais tendências didáticas, atualmente, são: o uso de jogos e curiosidades matemáticas, a resolução de problemas, o uso de tecnologias, a modelagem matemática, o uso da história matemática como recurso didático, a investigação através da aplicação de projetos de trabalho. Uma metodologia não exclui a outra, o importante é a consciência do professor que a utilização dessas metodologias contribui para uma aprendizagem mais compatível com as necessidades atuais. O uso consciente e responsável das metodologias referidas auxilia na formação de um aluno competente e capaz de aplicar seus conhecimentos na sua vida social e profissional.

Referências Bibliográficas

  • AZCÁRATE, Pilar Goded. Qué matemáticas necesitamos para comprender el mundo actual? Investigación en la Escuela, número 32, 1997, 77-85.

  • CARVALHO, Dione l. de. Metodologia do Ensino da Matemática. 2.ed. São Paulo: Cortez, 1994.

  • D’AMBRÓSIO, Ubiratan. Etnomatemática – elo entre as tradições e a modernidade. São Paulo: Autêntica, 2001.

  • D’AMORE, Bruno. Epistemologia e didática da Matemática. São Paulo: Escrituras, 2005.

  • FERRERO, Luis. El juegoy la matemática. Madrid: La Muralla, 1991.

  • GROENWALD, Claudia Lisete de Oliveira; SAUER, Lisandra de Oliveira; FRANKE, Rosvita Fuelber.

  • Desenvolvendo o pensamento aritmético utilizando os conceitos da Teoria dos Números. Acta Scientiae, Canoas, v.7, n.1, p. 93-101, jan./jun. 2005.

  • GUZMÁN, Miguel de. Aventuras Matemáticas. Barcelona: Labor, 1986.

  • MOURA, M.O. de.A construção do signo numérico em situação de ensino. São Paulo: USP, 1991

  • POLYA, George. A Arte de Resolver Problemas: um novo aspecto do método matemático. 2a reimpressão. Rio de Janeiro: Interciência, 1995.

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